Question

在直角梯形中, , 高(如图1). 动点同时从点出发, 点沿运动到点停止, 点沿运动到点停止,两点运动时的速度都是1cm/s,而当点到达点时,点正好到达点. 设同时从点出发,经过的时间为(s)时, 的面积为 (如图2). 分别以为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点在边上从到运动时, 与的函数图象是图3中的线段.

  (图1)                      (图2)                 (图3)

（1）分别求出梯形中的长度;

（2）分别写出点在边上和边上运动时, 与的函数关系式(注明自变量的取值范围), 并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象.

（3）问：是否存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分？若存在,求出这样的t的值；若不存在,请说明理由．

Answer

（1）；

（2）当点在上时,；当点在上时,；图象见解析；

（3）或6.

【解析】

试题分析：（1）P在AD边上运动时,三角形BQP以BQ为底边,以CD的长为高,因此可根据三角形BQP的面积,求出BC,而P、Q速度相同,P到A的时间与Q到C的时间相同,因此BA=BC．求AD的长可通过构建直角三角形来求解．

（2）三角形BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ为底边的高,可用BP•sinB来表示,然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y,t的函数关系式．

（3）PQ将梯形ABCD的面积分成两部分,左边部分面积逐渐增大,右边面积逐渐减少,故有两种可能,一是左边面积等于梯形ABCD面积的 ,另一种是右边面积等于梯形ABCD面积的.

试题解析：（1）设动点出发t秒后,点P到达点A且点Q正好到达点C时,BC=BA=t,

则S△BPQ= ×t×3.6=10.8,

所以t=6（秒）．

则BA=6（cm）,

过点A作AH⊥BC于H,

则四边形AHCD是矩形,

∴AD=CH,CD=AH=3.6cm,

在Rt△ABH中,BH= cm,

∴CH=1.2cm,

∴AD=1.2cm；

（2）当点在上时,；

当点在上时,;

整个运动中关于的函数关系的大致图象：

（3）梯形ABCD的面积：

设存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分,

当点在上时,△PQB的面积是： ,故有：,此时： ;

当点与点上重合时,点与点上重合, △PQB的面积是： ,此时：,也满足PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分.所以：或6.

考点：二次函数综合题．