Question

探究一:如图1,已知正方形ABCD,E、F分别是BC、AB上的两点,且AE⊥DF．小明经探究,发现AE＝DF．请你帮他写出证明过程.

探究二:如图2,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE⊥FH．小明发现,GE与FH并不相等,请你帮他求出的值.

探究三:小明思考这样一个问题:如图3,在正方形ABCD中,若E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE＝FH,试问:GE⊥FH是否成立？若一定成立,请给予证明;若不一定成立,请画图并作出说明．

Answer

（1）证明见解析;

（2）;

（3）不一定成立,图形见解析．

【解析】

试题分析:（1）证明AE=DF,只要证明三角形ABE和DAF全等即可．它们同有一个直角,且AB=AD,又因为∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD,这样就构成了全等三角形判定中的AAS,两三角形就全等了;

（2）作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,再由GE⊥FH,可得△GME∽△FNH,根据相似性质即可;

（3）不一定成立．

试题解析:（1）∵DF⊥AE,

∴∠AEB=90°﹣∠BAE=∠AFD,

又∵AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°,

∴△ABE≌△DAF,

∴AE=DF;

（2）作GM⊥BC于M,FN⊥CD于N,

∵GE⊥FH

∴∠MGE=∠NFH,

∴△GME∽△FNH.

∴.

∵AB＝GM＝3,FN＝BC＝4,

∴;

（3）不一定成立,如图:

当GE＝FH时,GE和FH位置不确定,只有GE＝FH=AD时,GE⊥FH．

考点:1.正方形的性质,2.三角形相似．