Question

在坐标平面内，半径为R的⊙C与x轴交于点D（1，0）、E（5，0），与y轴的正半轴相切于点A。点A、B关于x轴对称，点P（a，0）在x的正半轴上运动，作直线BP，作EH⊥BP于H。

⑴求圆心C的坐标及半径R的值；

⑵△POB和△PHE随点P的运动而变化，若它们全等，求a的值；

⑶当a＝６时，试确定直线BP与⊙C的位置关系并说明理由。

Answer

（1）C(3，)，R=3；（2）a=2；（3）相离.

【解析】

试题分析：（1）由题意知圆心C点的横坐标为DE中点的坐标，纵坐标和B点纵坐标相等，用切割线定理求出OB的长即可，C点的横坐标等于半径；

（2）因为△POA≌△PHE，OE的长为直角边和斜边的和，而OE的长已求，用OP表示PE，并且OA=OB．根据勾股定理求出OP的长即为a的值，过A作圆的切线为标准证明AP与⊙C的关系．

试题解析：（1）连接BC，则BC⊥y轴．取DE中点M，连CM，则CM⊥x轴．

∵OD=1，OE=5，

∴OM=3．

∵OB2=OD•OE=5，

∴OB=．

∴圆心C(3，)，半径R=3．

（2）∵△POA≌△PHE，

∴PA=PE．

∵OA=OB=，OE=5，OP=a，

∴PA2=a2+5，PE2=（5-a）2，

∴a2+5=（a-5）2，

解得：a=2．

（3）过点A作⊙C的切线AT（T为切点），交x轴正半轴于Q．

设Q（m，0），则QE=m-5，QD=m-1，

QT=QA-AT=QA-AB=．

由QT2=QE•QD，得()2=（m-5）（m-1），

11m2-60m=0．

∵m＞0，

∴m=．

∵a=6，点P（6，0），在点Q(，0)的右侧，

∴直线AP与⊙C相离．

考点: 1.直线与圆的位置关系；2.直角三角形全等的判定；3.切割线定理．