Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．

(1)求证：∠A=2∠DCB；

(2)求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，则OD⊥AB，可知∠A=∠DOB.由∠DOB=2∠DCB得：∠A=2∠DCB；

（2）由图形可知：阴影部分的面积=S△BOD-扇形DOE的面积，代入相关数据即可求出.

试题解析：（1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切于点D，

∴ OD⊥AB，

∴∠B＋∠DOB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠A＋∠B=90°，

∴∠A=∠DOB．

∵OC=OD，

∴∠DOB=2∠DCB．

∴∠A=2∠DCB．

（2）在Rt△ODB中，

∵OD=OE，OE=BE，

∴sin∠B=，

∴∠B=30°，∠DOB=60°．

∵BD=OB·sin60°=，

∴，

∴.

考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算.