Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=20，BC=15．动点P从A开始，以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为E、F．

（1）求AB与CD的长；

（2）当矩形PECF的面积最大时，求点P运动的时间t；

（3）以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时，求r的取值范围．

Answer

（1）25，12；（2）6.25；（3）r=12，15＜r≤20.

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，然后由面积关系求出CD的长；

（2）由相似关系可以求出PE、CE与t的关系，矩形PECF的面积最大，求点P运动的时间t；

（3）当圆与AB相切时，r=12，当圆与AB相交且只有一个交点时，15＜r≤20.

试题解析：（1）在Rt△ABC中，AC=20，BC=15

∴

又

∴

（2）∵△APE∽△ABC,

∴

∴，即，

同理可求：

设矩形PECF的面积为S，S=1.2t(20-1.6t) ，当t=6.25时，S有最大值.

（3）当圆与AB相切时，r=12，当圆与AB相交且只有一个交点时，15＜r≤20.

考点: 1.勾股定理；2.二次函数；3.直线与圆的位置关系.