Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．

（1）直线DE与⊙O有怎样的位置关系？为什么？

（2）若AC=，⊙O的半径为1，求CD的长及由弧BC、线段BD、CD所围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2），.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，从而判断CD与⊙O相切．易证∠COD=60°，所以∠OCD=90°，从而得证；

（2）利用“切割法”解答，即S阴影=S△OCD-S扇形OCB．

试题解析：（1）CD是⊙O的切线．理由如下：

∵DC=AC，∠CAB=30°，

∴∠CAD=∠CDA=30°（等边对等角）．

连接OC．

∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．

在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，

∴∠DCO=90°．

又∵点C在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切；

（2）连接BC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）．

∵∠CAB=30°，

∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=AB=1，

∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=，

∴S阴影=S△OCD-S扇形OCB=×1×-= ．

考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算.