Question

如图,是⊙的直径,、在⊙上,连结,过作∥交于,交⊙于,交于点,且．

（1）判断直线与⊙的位置关系,并说明理由;

（2）若⊙的半径为,,,求的长．

Answer

（1）直线BP和⊙O相切,理由见解析;（2）BP的长为2．

【解析】

试题分析：（1）连接BC,求出∠ACB=90°,根据PF∥AC,推出BC⊥PF,求出∠PBC+∠BPF=90°,求出∠PBC+∠ABC=90°,根据切线的判定推出即可;

（2）根据勾股定理求出BC,证△ABC和△BEP相似,得出比例式,即可求出BP．

试题解析：（1）直线BP和⊙O相切,

理由：连接BC,

∵AB是⊙O直径,

∴∠ACB=90°,

∵PF∥AC,

∴BC⊥PF,

则∠PBC+∠BPF=90°,

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,

∴∠BPF=∠ABC,

∴∠PBC+∠ABC=90°,

即∠PBA=90°,

∴PB⊥AB,

∵AB是直径,

∴直线BP和⊙O相切;

（2）由已知,得∠ACB=90°,

∵AC=2,AB=2,

∴由勾股定理得：BC=4,

∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,

∴∠BPF=∠ABC,

由（1）,得∠ABP=∠ACB=90°,

∴△ACB∽△EBP,

∴,

解得BP=2,

即BP的长为2．

考点：圆的综合题．