Question

已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．

（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；

（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．

（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．

Answer

(1),6;(2)y=8−，7；（3）x=2,6, 4+2 或4-2，y=4，， 或4-2，

【解析】

试题分析：（1）要求CF的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF

（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值；

（3）由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．

试题解析：（1）作FM⊥CD于M，

可证△AEH≌△DHG≌△MGF，

∴MG=DH=6-2=4，CG=6,CM=2,DG=FM=2，

∴CF=

∴△FCG的面积=×6×2＝6；

（2）可证△AEH∽△DHG，

∴，即，

∴DG＝，

∴y=△FCG的面积=×(8−)×2＝8−，

∵8−＞0，x≤8，

∴1＜x≤8，

∴当x=8时，y的最大值为7．

（3）当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，

∴△AEH∽△BCE

∴ ，即 ，

解得：x=2或x=6．

∴y=4或y＝．

当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，

则△HAE∽△GDH，

则 ，

解得：x=4+2 或4-2，

对应的y=4+2 或4-2．

当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能；

考点: 1.矩形的性质；2.相似三角形的判定与性质．