Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切线，连接PD并延长交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.

（1）判断直线PF与AC的位置关系，并说明你的理由；

（2）当⊙O的半径为5，tan∠P=，求AC的长.

Answer

（1）PF∥AC，证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接BC,则∠ACB=90°.由BP是圆O的切线知：∠ABC+∠PBC=90°；而∠ABC=∠ACB=∠P，所以∠P+∠PBC=90°，则三角形内角和定理可知∠PHB=90°,即PF∥AC；

（2）在Rt△ABC中，由tan∠P=tan∠D=tan∠ABC=设AC=x，BC=2x，根据勾股定理可求出x的值.

试题解析：（1）连接BC，交PF于H，则∠ACB=90°，∠ABC=∠ADC.

又∵∠BPF=∠ADC.

∴∠ABC=∠ADC=∠BPF

∵BP是⊙O的切线

∴∠PBC+∠ABC=90°

∴∠P+∠PBC=90°

∴∠PHB=90°

∴∠FHC=∠ACB=90°

∴PF∥AC;

(2)由（1）知：∠ABC=∠ADC=∠BPF

∴tan∠D=tan∠ABC=tan∠P=

设AC=x，BC=2x，则：

∴

解得：，

即AC=

考点: 1.平行线的判定；2.解直角三角形.