Question

如图：已知在正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。

(1)求证：DF＝AB＋FB；

(2)以E为圆心EB为半径作⊙E，试判断⊙E与直线DF的位置关系，并说明理由；

(3)在⑵的条件下，若CD=4cm，点M在线段DF上从点D出发向点F运动，速度为0.5cm/s，以M为圆心，MD为半径作⊙M。当运动时间为多少秒时，⊙M与⊙E相切？

Answer

(1)证明见解析；（2）相切，理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：(1)过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，易证△DAE≌△DPE，△EPF≌△EBF,即有：AD=AP，BF=PF，而AB=AD，从而得证；

（2）由EB=EP知⊙E与直线DF相切；

（3）设t秒后两圆相切，利用勾股定理得出方程，解方程即可求解.

试题解析：（1）过E点作EP⊥DF，垂足为P，连接EF，

在△DAE和△DPE中

∵∠ADE＝∠FDE

DE=DE

∠DAE＝∠DPE

∴△DAE≌△DPE，

∴DP=DA,AE=EP

又DA=AB

∴DP=AB

∵E为AB的中点

∴BE=AE=EP

在Rt△EPF和Rt△EBF中

BE=PE

EF=EF

∴Rt△EPF≌Rt△EBF

∴BF=PF

∴DF=DP+PF=AB+BF

(2)由（1）知：EP=EB

故⊙E与直线DF相切.

(3)设t秒后⊙M与⊙E相切，则有：

（4-0.5t）2+22=（2+0.5t）2

解得：t=.

考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.圆和圆的位置关系.