Question

如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．

(1)求∠BOD的度数及点O到BD的距离；

(2)若DE=2BE，求的值．

Answer

(1)120°,1；（2）.

【解析】

试题分析：（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度数，也可得出OF的长度；

（2）设BE=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，从而可得出cos∠OED的值．

试题解析：（1）作OF⊥BD于点F，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=30°，

∵AC为⊙O的直径，AC=4，

∴OB=OD=2．

在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，

∴OF=OB=1，

即点O到BD的距离等于1．

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，

∴BF=DF．

由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．

∵BF=OB•cos30°=，

∴x＝，EF=，

在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=，

∴∠OED=60°，cos∠OED=.

考点: 圆的综合题.