Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE²＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

Answer

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；

（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．

试题解析: （1）连接BD

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD

∴AC=BD

∵DE⊥BC，EF=DE

∴BD=BF，CD=CF

∴AC=BF，AB=CF

∴四边形ABCF是平行四边形；

（2）∵DE2=BE•CE

∴，

∵∠DEB=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DEC，

∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，

∴四边形ABFC是矩形．

考点: 1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质；4.相似三角形的判定与性质．