Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．

（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）求四边形ABDC的面积；

（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．

Answer

(1) y=-x2+2x+3；(2)9；（3）相似，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）已知A、B、C三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式；

（2）求出顶点坐标，作辅助线把四边形ABDC的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形ABDC的面积；

（3）判断△BCD与△COA是否相似，验证是否满足相似比例关系．

试题解析：（1）由题意，得

，

解之，得

，

∴y=-x2+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）2+4，

∴顶点坐标为D（1，4），

设其对称轴与x轴的交点为E，

∵S△AOC=|AO|•|OC|，

=×1×3，

=，

S梯形OEDC=（|DC|+|DE|）×|OE|，

=（3+4）×1，

=，

S△DEB=|EB|•|DE|，

=×2×4，

=4，

S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB，

=++4，

=9；

（3）△DCB与△AOC相似，（9分）

证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F，

∵D（1，4），F（0，4），

∴Rt△DFC中，DC=，且∠DCF=45°，

在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3，

∴∠AOC=∠DCB=90°，

，

∴△DCB∽△AOC．

考点: 1.二次函数综合题；2.相似三角形的判定与性质.