Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若，求的值

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；

（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得的值．

试题解析：（1）证明：连接OC．

∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，

∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．

∵∠BOC=2∠BAC，

∴∠BOC=∠BAF．

∴OC∥AF．

∴CF⊥OC．

∴CF是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．

∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，

∴△ABC∽△CBE．

∴==（sin∠BAC）2==．

∴=．

考点: 1.切线的判定；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质.