Question

已知抛物线的解析式为

（1）求证：不论m为何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值；

（2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的点P的坐标；

（3）若（2）中△PAB的面积为S（S>0），试根据面积S值的变化情况，确定符合条件的点P的个数（本小题直接写出结论，不要求写出计算、证明过程）.

Answer

（1）证明见解析；（2）（m，4）或(，−4)或（，-4）；（3）当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．

【解析】

试题分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，再设出A、B的坐标，然后代入公式即可求出AB的长；

（2）本题需先设出P的坐标，再由题意得出b的值，然后即可求出符合条件的所有点P的坐标；

（3）本题需分当s=8时，当0＜s＜8时，当s＞8时三种情况进行讨论，即可得出符合条件的点P的个数．

试题解析：：（1）∵△=（2m）2-4×（-1）（4-m2）=16＞0，

∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点．

设A（x1，0），B（x2，0），

则（定值）.

（2）设P（a，b），则由题意b=-a2+2am+4-m2，且，

解得b=±4．

当b=4时得：a=m，即P（m，4）；

当b=-4时得：，即P(，−4)或P（，-4）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（m，4）或(，−4)或（，-4）.

（3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有3个，当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，当s＞8时，符合条件的点P有2个．

考点：1.二次函数的和性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.分类思想的应用.