Question

如图，在△ABC中，AB=BC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．

（1）求证：BE=CE；

（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；

（2）首先连接OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．

试题解析：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=BE，CE=CF.

∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF.

∴BE=CE.

（2）如图，连接OD、OF，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.

又OD=OF，∴四边形ODAF是正方形.

设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=.

在△ABC中, ∠A=90°，∴.

又BC=BE+CE，∴ ，解得：r=.

∴⊙O的半径是.

考点：1. 三角形的内切圆与内心；2. 正方形的判定和性质；3.勾股定理.