Question

已知：如图,△ABC中,点D、E分别为BC、AC边中点,连接AD,连接DE,过A点作AF∥BC,交DE的延长线于F.连接CF,

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）对添加一个条件               ,使得四边形ADCF是矩形,并进行证明；

（3）在（2）的基础上对再添加一个条件              ,使得四边形ADCF是正方形,不必证明.

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）∵AD∥BC,∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC,∵E为AC的中点,∴AE=CE．利用AAS证得△DEA≌△FEC．∴AE=CE,∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）若四边形AFCD成为矩形,由于四边形AFCD是平行四边形,因而加对角线相等即可,即：DF=AC;

（3）添加AD=CD．由于四边形AFCD为矩形．加上AD=CD,即可得到：四边形AFCD为正方形.

试题解析：（1）在△DEA和△FEC中,

∵AD∥BC,

∴∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠EFC．

又∵E为AC的中点,

∴AE=CE．

∴△DEA≌△FEC．

∴AE=CE,

∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）添加DF=AC．

∵四边形AFCD为平行四边形．

又∵DF=AC,

∴四边形AFCD为矩形;

(3) 添加AD=CD．

∵四边形AFCD为矩形．

又∵AD=CD,

∴四边形AFCD为正方形.

考点：1.全等三角形的判定与性质,2.矩形的判定,3. 正方形的判定．