Question

已知：如图所示，AB是⊙的弦，，C是优弧AB上的一点，BD//OA，交CA的延长线于点D，连接BC。

（1）求证：BD是⊙的切线；

（2）若，求⊙的半径。

Answer

（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．

（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=4，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．

试题解析：（1）证明：连接OB，如图．

∵OA=OB，∠OAB=45°，

∴∠1=∠OAB=45°．

∵AO∥DB，

∴∠2=∠OAB=45°．

∴∠1+∠2=90°．

∴BD⊥OB于B．

∴又点B在⊙O上．

∴BD是⊙O的切线．

（2）作OE⊥AC于点E．

∵OE⊥AC，AC=4，

∴AE=AC=2．

∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，

∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°．

∴在Rt△OAE中，OA=.

考点:  1.切线的判定与性质；2.解直角三角形.