Question

已知，关于x的二次函数，（k为正整数）.

（1）若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的值.

（2）若关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y₁），B（m+1，y₂），C（m+2，y₃）都在二次函数（k为正整数）图象上，求使y₁≤y₂≤y₃成立的m的取值范围.

（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）1、2; (2) m≥;（3）（0，-4）.

【解析】

试题分析：（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，知一元二次方程有两不相等的实数根，从而根的判别式大于0,解不等式求出正整数解即可;

(2)由关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解得到k=1,从而得到函数解析式为,进而根据y1≤y2≤y3列不等式组求解即可;

（3）根据轴对称性质求解即可.

试题解析：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点 ，

∴△=16-8（k-1)＞0，∴16-8k+8＞0，解得k<3.

∵k为正整数，∴k=1、2.

(2) ∵关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解,

∴k=1. ∴.

∴y1=2m2=4m, y2=2(m+1)2+4(m+1),y3=2(m+2)2+4(m+2)

∴,解得m≥.

(3) 存在.

因为内心在轴上，所以∠ACO=∠BCO,找A点关于y轴的对称点A ′(1，2),直线A ′B：y=6x-4，与y轴的交点即为所求C点，坐标为（0，-4）.

考点：1. 二次函数的图象与x轴交点问题;2. 一元二次方程根的判别式;3. 二次函数与不等式组;4.轴对称的应用.