Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°.

（1）求∠AOC的度数；

（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且，求证：PC为⊙O的切线.

（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当时，求动点M所经过的弧长.

Answer

（1）60°; （2）证明见解析; （3）或或或.

【解析】

试题分析：（1）由OA、OC都是⊙O的半径知，△AOC是等腰三角形，然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°；

（2）由求出PA的长，从而得出∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900，进而证得结论;

（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．

试题解析：（1）在△OAC中，∵OA=OC（⊙O的半径），∠OAC=60°，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）.

又∵∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.

（2）如图,作PA边上的高CE,

∵△AOC是等边三角形, OC=4，∴CE=.

∵，∴. ∴.∴PA=AC=AO=4. ∴ ∠P=∠PCA，∠AOC=∠ACO.

∴∠PCO=900.

又∵OC是⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线.

（3）如图，

①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．

此时S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°.∴弧AM1=.

∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为.

②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，

此时S△M2AO=S△CAO．∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=.

∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，

此时S△M3AO=S△CAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=.

∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为.

点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，

此时点M经过的弧长为.

考点：1.动点问题;2.等腰三角形的性质;3. 等边三角形的判定和性质;4.切线的判定;5. 弧长的计算;6.分类思想的应用.