Question

如图，在□ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积.

Answer

（1）证明见解析; （2）24.

【解析】

试题分析：（1）先根据垂直平分线的性质得∴AE=EC，AF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠4；再结合平行线的性质得出∠1=∠4=∠3，即AF=AE，利用四条边相等的四边形是菱形即可证明;

（2）根据平行四边形的判定和性质, 勾股定理求出菱形AECF的两对角线长,即可根据菱形的面积公式求得.

试题解析：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC.∴∠1=∠2，∠3=∠4.

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠1=∠4=∠3. ∴AF=AE.

∴AE=EC=CF=FA.∴四边形AECF是菱形．

（2）∵EF垂直平分AC，AC⊥CD，∴EF∥CD.

又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴四边形ECDF是平行四边形.

又∵AB=6，∴EF=CD= AB=6.

在Rt△ACD中, ∵CD=6,AD= BC=10，∴根据勾股定理,得AC=8.

∴四边形AECF的面积=×AC×EF=24.

考点：1.平行四边形的性质；2.菱形的判定；3.等腰三角形的判定与性质；4. 勾股定理；5. 菱形的面积．