Question

如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；

（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．

Answer

（1）4；（2）4s，s，s.

【解析】

试题分析：(1)求出CQ=t，AP=4t，BP=20-4t，由已知推出∠B=∠C=90°，CD∥AB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程t=20-4t，求出即可．

(2) 主要考虑有四种情况，一种是P在AB上；一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解出即可．

试题解析：根据题意得：CQ=t，AP=4t，则BP=20-4t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，

∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，

即t=20-4t，

解得：t=4，

所以，当t=4s时，四边形QPBC是矩形．

（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．

①如果点P在AB上运动．如图3

只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．

由（1），得t=4（s）；

②如果点P在BC上运动，如图．

此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，

∴⊙P与⊙Q外离；

③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，如图．

可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．

此时，t-（4t-24）=4，解得 t=（s）；

④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，如图．

当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．

此时，4t-24-t=4，

解得 t=（s），

∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，

点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，

而＜11，

∴当t为4s，s，s时，⊙P与⊙Q外切．

考点: 1.矩形的判定与性质；2.圆与圆的关系.