Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于A（2，0），B（6，0）两点，交轴于点C（0，）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF所对圆心角的度数；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

Answer

（1）；（2）120°；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；

（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求出其对称轴方程联立直线OD的解析式即可求出D点的坐标；由于⊙D与x轴相切，那么D点纵坐标即为⊙D的半径；欲求劣弧EF的长，关键是求出圆心角∠EDF的度数，连接DE、DF，过D作y轴的垂线DM，则DM即为D点的横坐标，通过解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度数，即可得到∠EDF的度数，进而可根据弧长计算公式求出劣弧EF的长；

（3）易求得直线AC的解析式，设直线AC与PG的交点为N，设出P点的横坐标，根据抛物线与直线AC的解析式即可得到P、N的纵坐标，进而可求出PN，NG的长；Rt△PGA中，△PNA与△NGA同高不等底，那么它们的面积比等于底边PN、NG的比，因此本题可分两种情况讨论：①△PNA的面积是△NGA的2倍，则PN：NG=2：1；②△PNA的面积是△NGA的，则NG=2PN；可根据上述两种情况所得的不同等量关系求出P点的横坐标，进而由抛物线的解析式确定出P点的坐标．

试题解析：（1）∵抛物线经过点A（2，0），B（6，0），C（0，），

∴， 解得.

∴抛物线的解析式为：.

（2）易知抛物线的对称轴是.

把代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．

如图，连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．

∴劣弧EF所对圆心角为：120°.

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.  ∵直线AC经过点A（2，0），C（0，），

∴，解得.∴直线AC的解析式为：.

设点P，PG交直线AC于N，

则点N坐标为.

∵S△PNA：S△GNA=PN：GN，

∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.

即，解得：m1=－3， m2=2（舍去）.

当m=－3时，.

∴此时点P的坐标为.   

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.

即，解得：m1=－12， m2=2（舍去）.

当m=－12时，.

∴此时点P的坐标为.

综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．

考点1.：二次函数综合题；2.二次函数解析式的确定；3.函数图象交点；4.图形面积的求法；5分类思想的应用．