Question

如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD:DB＝3:1，则折痕EF的长       ．

Answer

．

【解析】

试题分析：如图，过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，

∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心.

又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，∴PF必过弧BGC所在圆的圆心.

∴点P为弧BGC所在圆的圆心.

∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD.

∴OG=AP.

而F点分⊙O的直径为3：1两部分，∴OF=1.

在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，

∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=.

∴AG=2-（）=. ∴DG=.∴OD=OG+DG=.

在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，∴BD=.

∴BC=2BD=．

考点：圆的综合题．