Question

在直角三角形ABC中,,是斜边AB的中点,过作于,连结交于；过作于,连结交于；过作于,…,如此继续,可以依次得到点,…,,分别记,,,…,的面积为,,,…,则.

Answer

S△ABC．

【解析】

试题分析：由于,是斜边AB的中点, ,易知D1E1∥BC,

∴△BD1E1与△CD1E1同底同高,面积相等,以此类推；

∴S1=S△D1E1A=S△ABC,

根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1=BC,CE1=AC,S1=S△ABC；

∴在△ACB中,D2为其重心,

又D1E1为三角形的中位线,∴D1E1∥BC,

∴△D2D1E1∽△CD2B,且相似比为1：2,

即=,

∴D2E1=BE1,

∴D2E2=BC,CE2=AC,S2=S△ABC,

∴D3E3=BC,CE3=AC,S3=S△ABC…；

∴Sn=S△ABC．

故答案是S△ABC．

考点：相似三角形的判定与性质．