Question

如图,在平面直角坐标系中,顶点为（4,1）的抛物线交轴于点,交轴于,两点（点在点的左侧）,已知点坐标为（6,0）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）联结AB,过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切,先补全图形,再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间.问：当点运动到什么位置时,的面积最大？求出的最大面积.

Answer

（1）抛物线的解析式为；

（2）直线BD与⊙相离；

（3）的最大面积是.

【解析】

试题分析：（1）根据顶点坐标列出顶点式，再将C点坐标代入即可；

（2）先求出圆的半径，再借助三角形相似，求出C到直线的距离，比较他们的大小即可；

（3）过点作平行于轴的直线交于点.设出点坐标，求出PQ的值，再表示出

的面积，借助函数关系式求出最值.

试题解析：（1）∵抛物线的顶点为（4,1）,

∴设抛物线解析式为.

∵抛物线经过点（6,0）,

∴.

∴.

∴.

所以抛物线的解析式为；

(2)补全图形、判断直线BD与⊙相离

令=0,则,. 

∴点坐标（2,0）.

又∵抛物线交轴于点,

∴A点坐标为（0,-3）,

∴.

设⊙与对称轴l相切于点F,则⊙的半径CF=2,

作⊥BD于点E,则∠BEC=∠AOB=90°.

∵,

∴.

又∵,

∴.   

∴∽,

∴.

∴,

∴.

∴直线BD与⊙相离；

(3)如图,过点作平行于轴的直线交于点.

∵A（0,-3）,（6,0）.

∴直线解析式为.

设点坐标为（,）,

则点的坐标为（,）.

∴PQ=-()=.

∵,

∴当时,的面积最大为 

∵当时,=

∴点坐标为（3,）.

综上：点的位置是（3,）,的最大面积是.

考点：抛物线,圆,动点问题.