Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是.

【解析】

试题分析：（1）连接OE，得到∠OEB =60°,从而OE∥AC.，根据平行线的性质即可得到直线EF是⊙O的切线；

（2）连接DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。

试题解析：（1）连接OE

∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠C=60°.

∵OB=OE,

∴∠OEB=∠C =60°,

∴OE∥AC.

∵EF⊥AC,

∴∠EFC=90°.

∴∠OEF=∠EFC=90°.

∴OE⊥EF,

∵⊙O与BC边相交于点E,

∴E点在圆上.

∴EF是⊙O的切线；

(2)连接DF,DE.

∵DF是⊙O的切线,

∴∠ADF=∠BDF=90°

设⊙O的半径为r,则BD=2r,

∵AB=4,

∴AD=4-2r,

∵BD=2r,∠B=60°,

∴DE=r,

∵∠BDE=30°,∠BDF=90°.

∴∠EDF=60°,

∵DF、EF分别是⊙O的切线,

∴DF=EF=DE=r,

在Rt△ADF中,

∵∠A=60°,

∴tan∠DFA= 

解得.

∴⊙O的半径是

考点：圆相关.