Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线：的顶点．

（1）求A、B两点的坐标．

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当为直角三角形时，直接写出m的值．______

Answer

（1）A（-1，0）、B（3，0）；（2）存在使得面积最大的点P，最大面积是；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线B

的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

试题解析：（1）在中，

令y=0，则，解得x=3或x=-1．

∴A、B两点的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）．

（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为，

把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得

  解得

∴ ．

设过B（3，0）、C（0，）两点的解析式为 ，

代入，得．

设“蛋线”在第四象限上存在一点P，过P点作PH⊥AB，垂足为H，交BC于点G.

设H点坐标为（x，0），则G（x，），P（x，）．

则PG=-()=.

∵

∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P，最大面积是．

（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，

顶点M坐标（1，-4m），

当x=0时，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．

①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得或

考点: 二次函数综合题．