Question

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EF和FM．

①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；

②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；

（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=3．点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

Answer

(1) ；（2）没有，证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)1连接EF，由已知条件证明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；2若△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（0°＜＜60°），其他条件不变，的值不发生变化，连接EF、AD、BC，由1的思路证明∠EMF=30°即可.

（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合时，NP取最小值为：OP-ON=-2；当P点在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=.

试题解析：（1）①．

② 不变．

证明：如图，连结AD和BC．

在Rt△AOB和Rt△COD中，

∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°．

∴∠AOD=∠COB，

．

∴．

∴．

又∵E、F、M分别为AC、CD、BD中点，

∴，．

∴．

（2）线段PN长度的最小值为-2，最大值为．

考点: 相似形综合题.