Question

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半径CD的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）；（3）5.

【解析】

试题分析：（1）欲证点F是AD的中点，只须证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；

（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出；

（3）根据△AEC∽△BEA易得AE2=CE•BE，因此（5k）2=k•（10+5k），解得k=2，所以CD=k=5．

试题解析：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED为⊙O直径，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴点F是AD的中点；

（2）【解析】
连接DM，

设EF=4k，DF=3k，

则ED=，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM=，

∴ME=，

∴cos∠AED=；

（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE2=CE•BE，

∴（5k）2=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．

考点: 1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.锐角三角函数的定义．