Question

正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将

△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长．

Answer

（1）见解析   （2）

【解析】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.

∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.

在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴△DEF≌△DMF（SAS），∴ EF=MF.

（2）【解析】
设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.

∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，

由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，

解得：x=，即EF=.