Question

如图，已知正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H.

（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE.

（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由.

Answer

（1）见解析   （2）当时，垂直平分，分析即可求得：时，垂直平分

【解析】分析:（1）由四边形和四边形是正方形，根据正方形的性质，即可得，，∠∠90°，则可根据SAS证得①△≌△；然后根据全等三角形的对应角相等，求得∠∠90°，则可得②⊥．

（2）当时，垂直平分，分析即可求得：时，垂直平分．

（1）证明：①∵ 四边形和四边形是正方形，

∴ ，，∠∠90°， 

∴ △≌△（SAS）.

②∵ △≌△，∴ ∠∠

又∠∠90°，

∴ ∠∠90°，

∴ ∠90°，∴ ⊥．

（2）【解析】
当时，H垂直平分

理由：如图，连接，

∵ 四边形和四边形是正方形，

∴ ∠90°，1，∴ .

∵ ，∴ ，∴ .

∵ ⊥，∴ ，∴ 垂直平分E，

∴ 当时，垂直平分．