Question

如图,在直角坐标系中,以x轴上一点P（1,0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点,连接CP,⊙P的半径为2.

（１）写出A、B、D三点坐标;

（2）求过A、B、D三点的抛物线的函数解析式,求出它的顶点坐标.

（3）若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M,交y轴于N,求直线MN的解析式

Answer

（1）A（﹣1,0）,B（3,0）,,D（0,﹣）;

（2）函数解析式为：,它的顶点坐标为：（1,）;

（3）直线MN的解析式是y=﹣x+．

【解析】

试题分析：（1）求出OA、OB,根据勾股定理求出OC,根据垂径定理求出OD=OC,即可得出答案;

（2）根据A、B、D三点的坐标即可求出抛物线的函数解析式及它的顶点坐标;

（3）连接PQ,求出∠CPO,求出∠QPM,求出PM,得出M的坐标,求出MN=2ON,根据勾股定理求出ON,得出N的坐标,设直线MN的解析式是y=kx+b,把M、N的坐标代入求出即可．

试题解析：（1）∵P（1,0）,⊙P的半径是2,

∴OA=2﹣1=1,OB=2+1=3,

在Rt△COP中,PC=2,OP=1,由勾股定理得：OC=,

由垂径定理得：OD=OC=,

∴A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,）,D（0,﹣）;

（2）设函数解析式为

∵A（﹣1,0）,B（3,0）,D（0,﹣）

∴

解得：,

所以函数解析式为：,

,它的顶点坐标为：（1,）;

（3）连接PQ,

在Rt△COP中sin∠CPO=,

∴∠CPO=60°,

∵Q为弧BC的中点,

∴∠CPQ=∠BPQ=（180°﹣60°）=60°,

∵MN切⊙P于Q,

∴∠PQM=90°,

∴∠QMP=30°,

∵PQ=2,

∴PM=2PQ=4,

在Rt△MON中,MN=2ON,

∵MN2=ON2+OM2,

∴（2ON）2=ON2+（1+4）2,

∴ON=,

∴M（5,0）,N（0,）,

设直线MN的解析式是y=kx+b,

代入得：,

解得：k=﹣,b=,

∴直线MN的解析式是y=﹣x+．

考点：一次函数综合题．