Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，12),B(16，0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向点O移动，同时点Q从点B开始在BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒。

⑴求直线AB的解析式；

⑵求t为何值时，△APQ与△AOB相似？

⑶当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

⑷当t为何值时，△APQ的面积最大，最大值是多少？

Answer

（1）y=-x+12；（2）,   ；（3）2，8；（4）5，20.

【解析】

试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，解得k，b即可；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB利用其对应边成比例解t．②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB利用其对应边成比例解得t．

（3）根据△APQ的面积为，求出t的值.

（3）过点O作QE⊥AO于点E，利用t表示出△APQ的面积，利用函数的性质即可求解．

试题解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

由题意，得

解得：

所以，直线AB的解析式为y=-x+12；

（2）由AO=12，BO=16得AB=20，

所以AP=t，AQ=20-2t，

①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以，

解得t=（秒），

②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以，

解得t=（秒）；

∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；

（3）过Q点作QE⊥Y轴于点E，

由△AQE∽△AOB知：

即：

解得：QE=

又S△APQ=

解得：,

(4) ∵QE=

∴S△APQ=AP•QE=t()=-t2+8t=-（t-5）2+20

∴当t=5时，△APQ的面积最大，最大面积是20个平方单位．

考点: 一次函数综合题.