Question

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;

(2)若∠CAE=30º，求∠ACF度数.

Answer

(1) 证明见解析; (2) ∠ACF=60°.

【解析】

试题分析：(1) 两个直角三角形中,一组直角边和斜边对应相等,两直角三角形全等,由题, ∠ABC=90º，所以∠CBF=90º, 在Rt△ABE和Rt△CBF中, AE=CF, AB=BC,所以Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2) 由题,AB=BC, ∠ABC=90°,所以∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

试题解析：(1) ∵∠ABC=90º，

∴∠CBF=90º,

在Rt△ABE和Rt△CBF中,

AE=CF, AB=BC,

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).

(2) 由题,AB=BC, ∠ABC=90°,

∴∠CAB=∠ACB=45°,

∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,

由(1)知道Rt△ABE≌Rt△CBF(HL),

∴∠BCF=∠BAE=15°,

∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

考点：直角三角形的全等.