Question

如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D是BC边的中点，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F．

(1)计算：AD=            ，（2分）EF=             （2分）（用含a的式子表示）；

(2)求证：DE=DF．（6分）

Answer

(1)，；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：此题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键所在．（1）由三角形ABC为等边三角形，得到AB=AC=BC=a，由D为BC的中点，可得：，利用三线合一得到AD⊥BC,利用勾股定理求出AD的长；由∠B=60°，DE垂直于AB，得到∠EDB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出,同理可得，所以AE=AF，进而可得等边三角形AEF。而AE=AB-BE，即可求出EF的长。

（2）由AD为角平分线，且DE垂直于AB，DF垂直于AC，利用角平分线定理即可得到DE=DF．

试题解析：

【解析】
（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC=a，∠B=60°，

又D为BC的中点，

∴

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：

∵在，

∴

∴，同理可得：

∴AB-BE=AC-CF

即：AE=AF

∴△AEF是等边三角形.

∴AE=EF=AF

∵

∴

（2）∵D为BC的中点，AB=AC=BC

∴AD平分∠BAC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．

考点：1、等边三角形的性质与判定；2、勾股定理；3、含30°直角三角形的性质；4、角平分线的性质.