Question

已知：如图,直线与x轴相交于点A,与直线相交于点P.动点E从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O,A重合）,过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,矩形EBOF与△OPA重叠部分面积为S.

（1）求点P的坐标;

（2）请判断△OPA的形状并说明理由;

（3）请探究S与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.

Answer

（1）;

（2）等边三角形;理由见解析;

（3）．

【解析】

试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组,求出P点坐标;

（2）将y=0代入,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,则OD=2,PD=,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4．可知△POA是等边三角形;

（3）①当0＜t≤4时,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,则EF=,OF=,则S=•OF•EF=;

②当4＜t＜8时,设EB与OP相交于点C,易知：CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣,EF=（8﹣t）,有OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,S=（CE+OF）•EF=﹣+4t﹣8．

试题解析：（1）由题意可得：,

解得,

所以点P的坐标为（2,）;

（2）将y=0代入y=﹣x+4,得到：﹣x+4=0,

∴x=4,即OA=4,

作PD⊥OA于D,则OD=2,PD=2,

∵tan∠POA==,

∴∠POA=60°,

∵OP=,

∴△POA是等边三角形;

（3）①当0＜t≤4时,如图,在Rt△EOF中,

∵∠EOF=60°,OE=t,

∴EF=,OF=,

∴S=•OF•EF=．

②当4＜t＜8时,如图,设EB与OP相交于点C,

∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,

∴AF=4﹣,EF=（8﹣t）,

∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,

∴S=（CE+OF）•EF=（t﹣4+t）×（8﹣t）= ．

考点：一次函数综合题．