Question

如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer

（1）证明详见解析；（2）阴影部分的面积为，理由详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积.解题时首先根据已知切线应连接OD.（1）如图，连接OD，只要求证OD⊥CE即可求解.由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；

（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD-S△BOD，即可求得答案．

试题解析：

（1）证明：连接OD

∵BC是⊙O的切线

∴∠ABC=90°

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB

∵OB=OD

∴∠OBD=∠ODB

∴∠ODC=∠ABC=90°

即OD⊥CD

∴CD为⊙O的切线

（2）【解析】
在Rt△OBF中，

∵∠ABD=30°，OF=1，

∴∠BOF=60°，OB=2，BF=

∵OF⊥BD，

∴BD=2BF=，∠BOD=2∠BOF=120°，

∴S阴影=S扇形OBD-S△BOD=．

考点：1、切线的判定与性质；2、扇形面积的计算．