Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析; （2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点.

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题.

试题解析：（1）如图,连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC. ∴∠DAC=∠OCA.

∴OC∥AD.

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.

∵OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线.

（2）如图,连接BC，则∠ACB=90°,

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.

∴.∴AC2=AD•AB.

∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6.

∴。.

考点：1.等腰三角形的性质;2.平行的判定和性质;3.切线判定;4.圆周角定理;5.相似三角形的判定和性质.