Question

如图：在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

①、则梯形的高是      ；

②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为，试用含的代数式表示△BEF的面积；

③、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此BE的长；若不存在，请说明理由；

④、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

①4；②；③存在，7；④存在，

【解析】

试题分析：①过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰梯形的性质可求得BH的长，然后根据勾股定理求解即可；

②根据题意画出BE的高FM，然后，推出梯形周长的一半（即12），即可知BF=12x，通过求证△FBM∽△ABH，即可推出高FM关于x的表达式，最后根据三角形的面积公式，即可表示出△BEF的面积；

③通过计算等腰梯形的面积，即可推出其一半的值，然后结合结论（2）即可推出结论；

④首先提出假设成立，然后，分情况进行讨论，①若当BE+BF=8，△BEF的面积=，根据题意列出方程，求出x；②若当BE+BF=16，△BEF的面积=时，根据题意列出方程，求出x，最后即可确定假设不成立，即可推出结论．

试题解析：①过点A作AH⊥BC于点H

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，

∴BH=（BCAD）÷2=3，

∴，即梯形的高为4；

②过点F作FM⊥BC于点M

∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，

∴等腰梯形ABCD的周长=24，

∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，

∴BF+BE=12，

∵BE=x，

∴BF=12x，

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴，

∴△BEF的面积；

③假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分．

∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，

∴等腰梯形ABCD面积的一半=4（4+10）÷2÷2=14，

∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时，△BEF的面积关于x的函数表达式为，

∴，

∴整理方程得：，

∵，

解方程得：，

∵当时，，

∴，不符合题意，舍去，

∴当BE=7时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分；

④假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．

∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，

则①若当BE+BF=8，△BEF的面积=，

∵BE=x，

∴BF=8x，

∵FM∥AH，

∴△FBM∽△ABH，

∴BF：AB=FM：AH，

∴，

∴，

∴△BEF的面积，

当时，

∴，

整理方程得：，

∵

∴故方程无实数解，

∴此种情况不存在；

②若当BE+BF=16，△BEF的面积=时，

∴，

∴△BEF的面积，

∴，

整理方程得：，，

解方程得：，（舍去），

∴当时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．

考点：1.等腰梯形的性质；2.勾股定理；3.一元二次方程的应用；4.解直角三角形