Question

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．

问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析：（1）在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即CG=EG.

(2) 连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．可证：△DAG≌△DCG，得出AG=CG，另外又可证△DMG≌△FNG得MG=NG，可证△AMG≌△ENG即有答案CG=EG.

试题解析：【解析】
（1）证明：在Rt△FCD中，

∵G为DF的中点，

∴，

同理，在Rt△DEF中，

 ，

∴CG=EG．

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．

在△DAG与△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG，

∴AG=CG；

在△DMG与△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴△DMG≌△FNG，

∴MG=NG；

在矩形AENM中，AM=EN，

在△AMG与△ENG中，

∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG，

∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，

连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF=CB，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，

∴，

∴EG=CG．

（3）（1）中的结论仍然成立．

即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．

考点：（1）全等三角形判定和性质;（2）图形的旋转。