Question

如图1,若△ABC和△ADE为等腰直角三角形,AB=AC,AD=AE,M,N分别EB,CD的中点．

（1）易证：①CD=BE ；②△AMN是             三角形；

（2）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,

①求证：CD=BE；

②判断△AMN的形状,并证明你的结论；

（3）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论是否成立？直接写出即可,不要求证明；并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比．

Answer

（1）等腰直角 ；（2）证明见解析；（3）（2）中的结论成立,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为：4：16:5.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易得△AMN等腰直角三角形；

（2）①用SAS证明△DAC≌△EAB,易得结论；②由于△DAC≌△EAB可以推出△DAM≌△EAN,得到CD=BE,再找角之间的关系易得结论；

（3）（2）中结论成立,令AD=a,求出△ADE与△ABC及△AMN的面积,再求出比值.

试题解析：（1）等腰直角

（2）① ∵ ∠DAE=∠CAB=90°

∴ ∠DAC=∠EAB

又∵ AD=AE   AC=AB

∴ △DAC≌△EAB    

∴ CD=BE；       

②△AMN是等腰直角三角形

∵ △DAC≌△EAB

∴∠CDA=∠BEA

∵ CD=BE 

∴ DM=EN

又∵ AD=AE

∴ △DAM≌△EAN

∴ AM=AN,∠DAM =∠EAN

∵ ∠DAM+∠MAE=90°

∴ ∠EAN+∠MAE=90°

∴ ∠MAN=90°

∴△AMN是等腰直角三角形；

(3) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,（2）中的结论成立(或CD=BE,△AMN是等腰直角三角形)

设AD=a, 那么AC=2a （a≠0）

CD= a,AM=

△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为：：：=4：16:5．

考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形．