Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,以BD为直径的⊙O与AC交于点E,且BE平分∠ABC,

（1）判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由；

（2）若AD=2,AE=,求⊙O的面积．

Answer

（1）直线AC与⊙O相切,证明见解析；（2）⊙O的面积为：．

【解析】

试题分析：（1）取BD的中点O,连接OE,证明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；

（2）设⊙O的半径为r,则在Rt△AOE中,利用勾股定理列出有关半径的方程求得半径,即可求⊙O的面积．

试题解析：（1）直线AC与⊙O相切,理由是： 

连接OE

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵∠OBE=∠CBE

∴∠OEB=∠CBE

∴OE ∥ BC

∴∠AEO=∠C=90°

∴ AC是⊙O的切线；

（2）设半径为r,根据勾股定理

r=2

⊙O的面积为：．

考点：1.切线定义,2.勾股定理．