Question

问题探究：

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

Answer

（1）作图见解析；（2）作图和理由见解析；（3）存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）圆内两条互相垂直的直径即达到目的；（2）连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分，可应用△AOP≌△EOB得出结论；（3）把原图补充成菱形，应用菱形的性质求解.

试题解析：（1）如图①所示：

（2）如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.

理由如下：

∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心.

∴AP=CQ，EB=DF.

在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOP=∠BOE.

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，∴△AOP≌△EOB（ASA）.∴AP=BE=DF=CQ .

∴AE=BQ=CF=PD.

设点O到正方形ABCD一边的距离为.

∴.

∴.

∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分.

（3）存在. 当BQ=CD=时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：

如图③，延长BA至点E，使AE=，延长CD至点F，使DF=，连接EF.

∴BE∥CF，BE=CF. ∴四边形BCFE为平行四边形.

∵BC=BE=+，∴平行四边形DBFE为菱形.

连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.

∴AM=DM，即点P、M重合.

∴点P是菱形EBCF对角线的交点.

在BC上截取BQ=CD=，则CQ=AB=.

设点P到菱形EBCF一边的距离为，

∴.

∴当BQ=时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.

考点：1.面积等分问题；2.圆和正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.菱形的判定和性质；5.转换思想的应用.