Question

许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为：y＝－x²＋10，并且BD＝CD.

（1）求钢梁最高点离桥面的高度OE的长；

（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB的长；

（3）若拉杆DE∥拉杆BN，求右侧抛物线的解析式.

Answer

（1）10m；（2）80m；（3）

【解析】

试题分析：（1）将x=0代入抛物线的解析式就可以直接求出结论．（2）当y=0时代入抛物线的解析式，求出其交点坐标就可以求出CD的长度，从而就可以BD、CD的值而得出结论．（3）由（2）的结论可以求出点B、点D的坐标，作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN，△NFB∽△EOD就可以求出NF的值而得出N的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．

试题解析：（1）在中，当x=0时，y=10，

∴钢梁最高点离桥面的高度OE的长10m；

 （2）在中，当y=0时，，解得x=±20，

∴C（-20，0），D（20，0），

∴DC=40，

∵BD=CD，

∴BD=20，

∵左右两条抛物线关于y轴对称，

∴AC=BD=20，

∴AB=40+20+20=80m；

（3）作NF⊥x轴于点F，连结DE、BN

∴∠NFB=∠EOD=90°，DF=BF=10，

∵DE∥BN，

∴∠2=∠1，

∴△NFB∽△EOD，

∴，  

∴，

∴NF=5．

∴N（30，5）．

设抛物线的解析式为，由题意得

，解得

∴．

考点：二次函数的应用