Question

如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A.

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠ABC =60°．

【解析】

试题分析：（1）连结OA、OB、OC、BD,根据切线的性质得OA⊥AB,即∠OAB=90°,再根据菱形的性质得BA=BC,然后根据“SSS”可判断△ABO≌△CBO,则∠BCO=∠BAO=90°,于是可根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由△ABO≌△CBO得∠AOB=∠COB,则∠AOB=∠COB,由于菱形的对角线平分对角,所以点O在BD上,利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD,则∠BOC=2∠ODC,由于CB=CD,∠OBC=∠ODC,所以∠BOC=2∠OBC,根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°,然后利用∠ABC=2∠OBC计算．

试题解析：（1）连结OA、OB、OC、BD,如图,

∵AB与⊙O切于A点,

∴OA⊥AB,即∠OAB=90°,

∵四边形ABCD为菱形,

∴BA=BC,

在△ABO和△CBO中

,

∴△ABO≌△CBO（SSS）,

∴∠BCO=∠BAO=90°,

∴OC⊥BC,

∴BC为⊙O的切线；

（2）∵△ABO≌△CBO,

∴∠AOB=∠COB,

∵四边形ABCD为菱形,

∴BD平分∠ABC,DA=DC,

∴点O在BD上,

∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,OD=OC,

∴∠ODC=∠OCD,

∴∠BOC=2∠ODC,

同理：∠BOC=2∠OBC,

∵∠BOC+∠OBC=90°,

∴∠OBC=30°,

∴∠ABC=2∠OBC=60°．

考点：1.切线的判定与性质,2.菱形的性质．