Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

Answer

（1）∠ABD=30°-;（2）△ABE是等边三角形（证明见解析）;（3）=30°.

【解析】

试题分析：（1）在等腰三角形中,顶角和底角的关系是∠B=(180°-∠A),∵AB=AC，∴∠ABC=∠C, ∵∠BAC=,∴∠ABC=(180°-),∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-;（2）直观上看△ABE是等边三角形,而且有一个角是60°,只需要证明AB=BE即可,找到包含这两条线段的三角形△ABD和△BCE,故连接AD,CD,因为∠ABE=60°, ∠ABD=30°-,∠DBE=30°+,又因为∠DBC=60°,所以∠CBE=30°

-=∠ABD,因为∠DBC=60°,BD=BC,所以△BDC是等边三角形,所以BD=CD,在△ABD和△ACD中,AB=AC,

BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD=,在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-,∠BEC==∠BAD,在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB=AC ,所以△ABD≌△CBE,所以AB=BE;（3）由(2)知△BDC是等边三角形,所以∠BCD=60°,因为∠BCE=150°，所以∠DCE=90°,因为∠DEC=45°,所以△DCE是等腰直角三角形,所以CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，所以∠CBE=30°

-=15°, 所以=30°.

试题解析：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C,

∵∠BAC=,

∴∠ABC=(180°-),

∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-;

（2）故连接AD,CD,

∵∠ABE=60°, ∠ABD=30°-,∠DBE=30°+,

又∵∠DBC=60°,

∴∠CBE=30°-=∠ABD,

∵∠DBC=60°,BD=BC,

∴△BDC是等边三角形,

∴BD=CD,

在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,

∴△ABD≌△ACD,

∴∠BAD=∠CAD=,

在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-,∠BEC==∠BAD,

在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB=AC ,

∴△ABD≌△CBE,

∴AB=BE;

（3）由(2)知△BDC是等边三角形,

∴∠BCD=60°,

∵∠BCE=150°，

∴∠DCE=90°,

∵∠DEC=45°,

∴△DCE是等腰直角三角形,

∴CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，

∴∠CBE=30°-=15°,

∴=30°.

考点：等腰三角形和等边三角形.