Question

如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留）

Answer

（1）证明见试题解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由切线的性质证得OC⊥EF，从而证明OC∥AD，再根据等边对等角和平行线的性质可证得∠BAC=∠OCA和∠OCA=∠DAC，进而可知∠DAC=∠BAC.

(2)由于阴影部分的面积=S梯形OCDA﹣S扇形OCA，所以先求出梯形的面积和扇形OCA的面积即可.

试题解析：

（1）证明：连接OC

∵直线EF切⊙O 于点C

∴OC⊥EF

∵AD⊥EF

∴OC∥AD

∴∠OCA=∠DAC

∵ OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∴∠DAC=∠BAC

即AC平分∠BAD

（2）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°

∴∠OCA=60°.

∵OC=OA

∴△OAC是等边三角形

∵⊙O的半径为2

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°

∵在Rt△ACD中，AD=AC=1

由勾股定理得：DC=

∴阴影部分的面积=S梯形OCDA﹣S扇形OCA

=×（2+1）×﹣

∴阴影部分的面积为：

考点: ①切线的性质；②扇形的面积的计算；③等边三角形的性质与判定