Question

观察计算：

当，时，与的大小关系是_________________．

当，时，与的大小关系是_________________．

探究证明：

如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．

（1）分别用表示线段OC，CD­；

（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．

归纳结论：

根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：______________．

实践应用：

要制作面积为4平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

Answer

观察计算：当，时，＞；当，时，=．

探究证明：（1）OC＝，；

（2）当a=b时，OC=CD，=；a≠b时，OC＞CD，＞．

结论归纳：．

实践应用：周长最小为4米．

【解析】

试题分析：观察计算：把，和，分别代入与计算，即可作出判断；

探究证明：（1）由于OC是直径AB的一半，则OC易得．通过证明△ACD∽△CBD，可求CD；

（2）分a=b，a≠b讨论可得出与的大小关系；

实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小．

试题解析：观察计算：当，时，＞

当，时，=．

探究证明：

（1）∵AB=AD+BD=2OC，

∴OC＝

∵AB为⊙O直径，

∴∠ACB=90°．

∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠A=∠BCD．

∴△ACD∽△CBD．

∴．即CD2=AD•BD=ab，解得；

（2）当a=b时，OC=CD，=；

a≠b时，OC＞CD，＞．

结论归纳：．

实践应用

设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，

则，当，即x=1（米）时，镜框周长最小．

此时四边形为正方形时，周长最小为4米．

考点：1.几何不等式；2.相似三角形的判定与性质；3.圆周角定理