Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.

Answer

（1）详见解析；（2）6

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

试题解析：（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO，

∴∠DAC=∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，

∴CD为⊙O的切线；

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四边形DCOF为矩形，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．

即（5-x）2+（6-x）2=25，

化简得x2-11x+18=0，

解得x1=2，x2=9．

∵CD=6-x大于0，故x=9舍去，

∴x=2，

从而AD=2，AF=5-2=3，

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，

∴AB=2AF=6．

考点：1.切线的判定和性质；2.勾股定理；3.矩形的判定和性质4.垂径定理